|
|
 |
Условие
Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?
Решение
Если взять числа –1, 0, 1, 2, то, как легко проверить, каждое из записанных на доске чисел будет равно –2, –1, 0, 1, 2 или 3 – всего 6 различных значений.
Покажем, что меньше шести различных чисел на доске оказаться не могло. Пусть взяты числа a < b < c < d. Тогда выполнены неравенства
a + b < a + c < a + d < b + d < c + d, что даёт пять различных чисел. Осталось доказать, что на доске есть число, отличное от этих пяти.
Первый способ. Мы покажем, что на доске найдётся либо число, большее c + d, либо число, меньшее a+ b. Если a ≥ 0, то b ≥ 1, c ≥ 2, d ≥ 3, поэтому cd ≥ 2d > c + d. Если a < 0, а d ≥ 2, то ad ≤ 2a < a + b. В оставшемся случае имеем a < 0 и d ≤ 1. Но тогда c ≤ 0, b ≤ –1, a ≤ –2, откуда ab ≥ 2 > c + d.
Второй способ. Пусть u и v – два наибольших по модулю из чисел a, b, c, d, причём |u| ≤ |v|. Если |u| ≥ 2, то |uv| ≥ 2|v|, а это больше, чем любая сумма. Если же |u| ≤ 1, то среди исходных чисел должны быть –1, 0, 1. При v > 0 на доске выписано по крайней мере 6 различных чисел: –1, 0, 1, v, – v, v + 1.
Случай v < 0 разбирается аналогично.
Ответ
6 чисел.
