Задача 65092

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

Решение

Положим  a = 2n + x,  b = 2n – x,  c = 2n + y,  d = 2n – y.  Тогда равенство перепишется в виде  y² – x² = 4n.  Теперь предположим, что  y + x = 2n,
y – x = 2.  Получим  x = n – 1,  y = n + 1,  откуда  a = 3n – 1,  b = n + 1,  c = 3n + 1,  d = n – 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер	3 (2011 год)
тур
задача
Номер	1