ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65095
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором  AB = CD,  выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что  PB + PC < AD.


Решение

  Построим на продолжении луча PC за точку C точку K таким образом, что CK = BP. Треугольники ABP и DCK равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  DK = AP  и  ∠BAP = ∠CDK.
  Построим параллелограмм PKDL. Так как  ∠ABC + ∠BCD > 180°,  то  ∠BAD + ∠ADC < 180°,  откуда
APD = 180° – ∠PAD – ∠PDA > (∠BAD – ∠PAD) + (∠ADC – ∠PDA) = ∠BAP + ∠PDC = ∠PDK – ∠DPL.  Следовательно, луч PL пойдёт внутрь угла APD. Но  AP = DK = LP,  поэтому точка D будет с той же стороны от серединного перпендикуляра к AL, что и точка L. Поэтому
AD > DL = PK = PC + PB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер 3 (2011 год)
тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .