ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65098
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечётными знаменателями, большими 1010. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100?


Решение 1

  Предположим противное. Пусть a1, a2, a3, a4, a5 – исходные дроби в порядке их следования по кругу. Заметим, что
2a1 = (a1 + a2) + (a3 + a4) + (a5 + a1) – (a2 + a3) – (a4 + a5).  Последнее выражение есть алгебраическая сумма пяти дробей со знаменателями, не превосходящими 100. Очевидно, знаменатель в несократимой записи суммы не превосходит произведения знаменателей в несократимой записи слагаемых. Значит, знаменатель в несократимой записи 2a1 не больше  1005 = 1010.  С другой стороны, он равен знаменателю a1 (поскольку знаменателю a1 нечётен), то есть больше 1010. Противоречие.


Решение 2

  Пусть q – наименьшее общее кратное знаменателей a1, ..., a5, и  ai = bi/q.  Положим также  si = ai + ai+1  (считая  a6 = a1).  Очевидно,  q > 1010.  Пусть p – один из делителей числа q, причём q делится на pk, но не на pk+1. Покажем, что один из знаменателей в несократимых записях чисел si делится на pk.
  Допустим, знаменатели чисел si не делятся на pk. Тогда все  bi + bi+1  делятся на p. Поскольку одно из чисел bi не делится на p, то и ни одно из них не делится, поскольку  b1 ≡ – b2b3 ≡ – b4b5 ≡ –b1 (mod p).  Но отсюда следует также, что 2b1 делится на p, а этого не может быть, поскольку p нечётно.
  Из доказанного следует, что произведение знаменателей чисел si делится на q; но тогда это произведение больше 1010, а, значит, один из сомножителей больше 100.


Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер 3 (2011 год)
тур
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .