|
|
 |
Условие
На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
Решение
Пусть A1A2...An – данный многоугольник, а S – его центр.
Покажем, что, если n чётно, то существуют две различные расстановки, при которых соответствующие тройки будут одинаковыми. Тогда Петя не сможет восстановить исходные числа. Поставим в S число 1, а в вершины n-угольника – единицы и двойки чередующимся образом. При сдвиге чисел на один шаг по часовой стрелке тройки {1, 1, 2} не изменятся.
При нечётном n Петя сможет восстановить все числа. Отметим, что число из вершины Ai пишется в двух тройках, а число из S – в n тройках. Значит, только число из S будет встречаться во всех тройках нечётное число раз, и Петя сможет его определить. После этого для каждой пары соседних вершин n -угольника он знает, какие два числа написаны в них. Осталось по этим данным восстановить числа в вершинах.
Выписав числа из всех пар соседних вершин, мы получим "удвоенный" набор всех чисел в вершинах. Сравнив его с набором чисел в парах (A1, A2), (A3, A4), ...,
(An–2, An–1), мы найдём число в вершине An. Аналогично находятся числа в остальных вершинах.
Ответ
При нечётных n.
Замечания
При чётном n есть и другие примеры расстановок чисел с одинаковыми тройками.
