ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65123
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена  f(x) = ax² + bx + c  – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.


Решение

  Покажем, что Паше хватит даже 1022 рублей.
  Если коэффициент c не больше 1022, то, сделав его равным нулю, мы получим трёхчлен  f1(x) = ax² + bx,  имеющий целый корень  x = 0.
  Пусть  c ≥ 1023;  тогда  a + b ≤ 977.  Рассмотрим два последовательных квадрата, между которыми находится c:  m² ≤ c < (m + 1)².  При этом  m ≤ 44 , поскольку  c < 2000 < 45².  Тогда одна из разностей  c – m²  и  (m + 1)² – c  не превосходит  ½ ((m + 1)² – m²) = m + ½,  то есть не больше 44. Итак, найдётся натуральное k, для которого  |c – k²| ≤ 44.  Заменив теперь a на –1, b на 0, а c на k², мы изменим коэффициенты суммарно не более, чем на
a + b + 1 + |c – k²| ≤ 978 + 44 = 1022,  и получим трёхчлен  f2(x) = – x² + k²,  имеющий целый корень  x = k.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .