|
|
 |
Условие
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
Решение
Пусть на вечере было p супружеских пар и d детей. Тогда каждый ребёнок состоял в (p – 1)(p – 2) тройках: маму можно было выбрать из одной из
p – 1 супружеских пар, а после её выбора папу можно было выбрать из одной из p – 2 оставшихся пар. Значит, общее количество троек равно
d(p – 1)( p – 2) = 3630. Поскольку d ≤ 10p, получаем 3630 ≤ 10p³, то есть p³ ≥ 363 > 7³. Значит, p ≥ 8.
Число 3630 = 2·3·5·11² имеет два делителя p – 1 и p – 2, отличающиеся на 1. Если один из этих делителей делится на 11, то другой даёт остаток 1 или 10 при делении на 11. Тогда он взаимно прост с 11, а значит, делит 2·3·5 = 30 и при этом не меньше 10. Нетрудно видеть, что этим делителем может быть только 10; тогда p – 2 = 10,
p – 1 = 11 и d = 3630 : 110 = 33.
Если же оба числа p – 2 и p – 1 не делятся на 11, то число 2·3·5 = 30 делится на их произведение, а это противоречит тому, что p ≥ 8.
Ответ
33 ребёнка.
