ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65163
Темы:    [ Многоугольники (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.


Решение

Пусть каждая сторона  AiAi+1 = a  многоугольника A1...AN продолжена синим отрезком  AiBi = bi  и красным отрезком  Ai+1Ci = ci  (считаем, что
AN+1 = A1).  Хорды B1C1 и B2C2 пересекаются в точке A2, значит,  c1(a + b1) = b2(a + c2),  то есть  (c1b2)a = b2c2b1c1.  Аналогично
(c2b3)a = b3c3b2c2  и т. д. Сложив все эти равенства, получим  (c1 + ... + cN – b1 – ... – bN)a = 0,  то есть  c1 + ... + cN = b1 + ... + bN.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 9, 10-11 кл. – 8.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .