|
|
 |
Условие
В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?
Решение
Количество партий, сыгранных в турнире, равно 10·11 = 110. Очков было разыграно столько же, значит, как россияне, так и иностранцы в сумме набрали по 55 очков. Лучший из российских шахматистов не мог набрать меньше, чем 14,5 очков (иначе сумма очков, набранных россиянами, не больше чем 14 + 13,5 + 13 + 12,5 = 53 < 55). Пусть его опередили хотя бы трое иностранцев, тогда они набрали в сумме не меньше чем
15 + 15,5 + 16 = 46,5 очков. Значит, четыре остальных зарубежных шахматиста набрали в сумме не больше чем 55 – 46,5 = 8,5 очков. Но эти шахматисты только во встречах между собой разыграли 3·4 = 12 очков, то есть сумма набранных ими очков не могла быть меньше чем 12. Противоречие.
Ответ
Не могло.
