|
|
 |
Условие
Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре различные цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.
Решение
Например, в начале месяца курс мог равняться 49,50, а в конце – 59,40 рублей за доллар.
Замечания
Идея решения. Пусть A – четырёхзначное число, составленное из цифр электронного табло в первоначальном порядке, а B – число, составленное из тех же цифр, но в другом порядке. По условию B = 1,2A, или 5B = 6A. Значит, B делится на 3, поэтому сумма цифр B, а значит, и сумма цифр A кратны 3, и поэтому A делится на 3, а B – на 9. Продолжая, получаем, что B делится на 54, а A – на 45. Итак, (A, B) = (45k, 54k) для некоторого натурального k. При k = 100 и k = 10 получаем пары (4500, 5400) и (450, 540). Их сумма (4950, 5940) будет удовлетворять и требованию, что все цифры различны. Можно проверить, что решение единственно с точностью до перестановки десятичной запятой: условию также удовлетворяет пара (0495, 0594), а других таких пар нет.
