ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65188
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Задачи на проценты и отношения ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре различные цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.


Решение

Например, в начале месяца курс мог равняться 49,50, а в конце – 59,40 рублей за доллар.

Замечания

Идея решения. Пусть A – четырёхзначное число, составленное из цифр электронного табло в первоначальном порядке, а B – число, составленное из тех же цифр, но в другом порядке. По условию  B = 1,2A,  или  5B = 6A.  Значит, B делится на 3, поэтому сумма цифр B, а значит, и сумма цифр A кратны 3, и поэтому A делится на 3, а B – на 9. Продолжая, получаем, что B делится на 54, а A – на 45. Итак,  (A, B) = (45k, 54k)  для некоторого натурального k. При  k = 100  и  k = 10  получаем пары  (4500, 5400)  и  (450, 540).  Их сумма  (4950, 5940)  будет удовлетворять и требованию, что все цифры различны. Можно проверить, что решение единственно с точностью до перестановки десятичной запятой: условию также удовлетворяет пара  (0495, 0594),  а других таких пар нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .