ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65195
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки O и I – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC. Две равные окружности касаются сторон AB, BC и AC, BC соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке K. Оказалось, что K лежит на прямой OI. Найдите ∠BAC.


Решение

  Обозначим центры двух равных окружностей, упомянутых в условии, соответственно IB и IC (см. рис.). Заметим, что  IBIC || BC,  так как расстояния от точек IB и IC до прямой BC равны. Следовательно, треугольники IBIIC и BIC гомотетичны и их медианы IK и IM лежат на одной прямой. Но согласно условию это все та же прямая OI, то есть M, O, и I лежат на одной прямой. Значит, либо прямая OM – серединный перпендикуляр к стороне BC, либо точки M и O совпадают.

  В первом случае I лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC, откуда следует равенство углов IBC и ICB. Но тогда равны и углы B и C, а равнобедренность треугольника ABC запрещена условием.
  Во втором случае угол A – прямой, так как опирается на диаметр BC описанной окружности треугольника ABC.


Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .