|
|
 |
Условие
В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что BK = MN.
Решение
Заметим, что ∠AED = 90° (сумма углов A и D равна 180°, DE и AE – биссектрисы, см. рис. слева). Пусть F – точка пересечения прямых DE и AB. В треугольнике ADF отрезок AE является высотой и биссектрисой, следовательно, этот треугольник – равнобедренный и DE = EF. Поэтому треугольники DCE и FBE равны по стороне и двум углам. Следовательно, CE = BE и DC = FB, откуда AD – CD = AF – CD = AB.
2DM = CD + DE – CE, 2BK = AB + BE – AE (рис. справа). Отсюда 2MN = 2DN – 2DM = AD – AE – CD + CE = AB – AE + BE = 2BK.
Замечания
1. Точки M и N расположены на отрезке DE именно в таком порядке, как показано на рисунке справа, в силу неравенства DN – DM = BK > 0.
2. Поскольку AD = AB + DC и DE и AE – биссектрисы углов D и A соответственно, то треугольники DCE и ABE можно "перегнуть" по сторонам DE и AE внутрь треугольника ADE так, что точки C и B совпадут и окажутся на отрезке AD. Таким образом задачу можно свести к такому известному факту.
В треугольнике ABC провели чевиану BK. M, L и N – точки касания вписанных окружностей треугольников ABK, CBK и ABC со стороной AC (см. рис.). Тогда MK = NL.
