ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65256
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Точка Лемуана ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке C пересекает прямую AB в точке D. Пусть I – центр вписанной окружности, треугольника ABC. Прямые AI и BI пересекают биссектрису угла CDB в точках Q и P соответственно. Пусть M – середина отрезка PQ. Докажите, что прямая MI проходит через середину дуги ACB окружности ω.


Решение

  Можно считать, что точка D лежит на луче BA. Пусть L – середина дуги ACB.
  ∠CDB = ∠CAB – ∠ACD = ∠A – ∠B.  Значит,  ∠PQA = ∠QAB – ∠QDB = ½ ∠A – ½ (∠A - ∠B) = ½ ∠B.

  Первый способ. Пусть биссектрисы AI и BI углов треугольника пересекают ω вторично в точках A' и B' соответственно.  ∠PQA = ½ ∠B = ∠B'A'A,  поэтому  PQ || A'B'.
  Заметим, что  ∠LA'A = ∠LBA = ½ (∠A + ∠B) = ∠B'IA.  Значит,   LA' || IB'.  Аналогично,  LB' || IA'.  Поэтому IA'LB' – параллелограмм, и прямая LI делит A'B' пополам. Следовательно, она делит пополам и отрезок PQ, что и требовалось.

  Второй способ.  ∠PQA = ½∠B = ∠PBA.  Значит, точки Q, P, A и B лежат на одной окружности. Следовательно, прямые PQ и AB антипараллельны друг другу относительно прямых PI и QI. Поэтому, чтобы доказать, что LI – медиана треугольника PIQ, достаточно доказать, что LI – симедиана треугольника AIB.
  Пусть L' – точка окружности ω, диаметрально противоположная точке L. По лемме о трезубце (см. задачу 53119) L' – центр описанной окружности треугольника AIB. При этом  ∠L'AL = ∠L'BL = 90°.  Значит, LA и LB – касательные к описанной окружности треугольника AIB. Согласно задаче 56983 LI – симедиана треугольника AIB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .