|
|
 |
Условие
Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим через Pn вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна n. Докажите, что при n ≥ 7 верно равенство Pn = ⅙ (Pn–1 + Pn–2 + ... + Pn–6).
Решение
Разделим игру на два независимых испытания: первый бросок, который даёт с вероятностью ⅙ любое число очков k от 1 до 6, и второе испытание – все последующие броски. Все последующие броски – такая же игра, которая даёт в какой-то момент сумму m с вероятностью Pm. Вероятность P(Ak,m) события Ak,m = {первый раз выпало k; сумма остальных в какой-то момент равна m} равна ⅙ Pm.
Очевидно, во всей игре сумма очков в какой-то момент станет равна n, если m = n – k. События A1,n–1, A2,n–2, ... и т.д. несовместны, поэтому
Pn = P(A1,n–1) + ... + P(A1,n–6) = ⅙ Pn–1 + ... + ⅙ Pn–6.
