ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65330
Темы:    [ Математическая статистика ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В наборе  –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5  замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.


Решение

  Как известно, дисперсия набора равна разности среднего квадрата и квадрата среднего. Поэтому задачу можно переформулировать: нужно заменить одно число двумя другими так, чтобы среднее арифметическое и средний квадрат чисел в наборе не изменились. Среднее арифметическое данного набора равно 0, поэтому среднее арифметическое нового набора, а, следовательно, и сумма чисел в нём также должна быть равна 0.
  В данном наборе 11 чисел, а сумма квадратов равна  2·(12 + 22 + 32 + 42 + 52) = 110,  так что средний квадрат равен 10. В новом наборе 12 чисел, поэтому сумма квадратов чисел нового набора должна быть 120, то есть увеличивается на 10. Заменим число a числами b и c. Тогда  a = b + c  и  a2 + 10 = b2 + c2.  Следовательно,  b2 + c2 – 10 = (b + c)2 = b2 + c2 + 2bc,  откуда  bc = –5.
  Значит, одно из чисел равно 5 или –5, а другое, соответственно, –1 или 1. В первом случае  a = 4,  во втором случае  a = –4.


Ответ

Надо заменить –4 на 1 и –5 или заменить 4 на –1 и 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2012
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .