ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65370
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.


Решение

  Пусть K – наименьший из данных кругов (будем считать, что его радиус равен 1), O – центр K, A1A2A3A4A5A6 – правильный шестиугольник с центром O и стороной . Докажем, что каждый из данных кругов содержит одну из точек O, A1, ..., A6; из этого (по принципу Дирихле) будет следовать утверждение задачи.
  Пусть O' – центр некоторого круга K'. Если O' лежит в K, то круг K' содержит O, так как его радиус не меньше 1.
  Разберём случай  OO' > 1.  Луч OO' образует с одним из лучей OAi угол, не больший 30°. Пусть это луч OA1, тогда  
  Если  1 < O'O ≤ 2,  то  O'A1 ≤ 1  и K' содержит A1. Если же  O'O > 2,  то  O'A1 < O'O – 1.  Но радиус K' не меньше чем  O'O – 1,  так как этот круг пересекается с K; следовательно, и в этом случае K' содержит A1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .