Задача 65371

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Якубов А., Крутовский Р.

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Решение 1

  Как известно, для любых двух окружностей их центры вместе с центрами внутренней и внешней гомотетий, переводящих одну окружность в другую, образуют гармоническую четверку. Для данных окружностей с центрами I₁ и I₂, центром внешней гомотетии является точка Z, а центр внутренней лежит на прямой AP (поскольку BZ и AP являются общими внешней и внутренней касательными к окружностям). При проекции прямой I₁I₂ из точки P на описанную окружность Ω треугольника ABC, центр внутренней гомотетии переходит в A, а точки I₁ и I₂ – в середины дуг AB и AC соответственно. Так как эти три проекции фиксированы, проекция точки Z также не зависит от P. Значит, все возможные прямые ZP проходят через фиксированную точку окружности Ω.

Решение 2

  Пусть U – точка пересечения AP и BC. Докажем, что двойное отношение (BCZU) не зависит от P; отсюда проектированием прямой BC на описанную окружность Ω треугольника ABC получается, что прямая PZ пересекает окружность в фиксированной точке.
  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника PBC соответственно (см. рис.). Применяя теорему Менелая к треугольнику BIC, получаем  
  Поскольку PI, PI₁ и PI₂ – биссектрисы углов BPC, BPU и UPC соответственно,  ∠BPI₁ = ∠IPI₂ = ½ ∠C  и  ∠I₁PI = ∠I₂PC = ½ ∠B.  Применяя теорему синусов к треугольникам BPI₁, I₁PI, IPI₂ и I₂PC, получаем     и  
  Применяя теорему синусов к треугольникам BPC, ABU и ACU, имеем  
  Перемножая четыре полученных равенства, получаем  

Замечания

Из найденного значения  (BCZU)  следует, что прямая PZ пересекает окружность в точке, лежащей на прямой, соединяющей центр вписанной окружности треугольника ABC и середину дуги CAB. Можно также показать, что в этой точке полувписанная окружность, касающаяся сторон AB и AC, касается описанной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4