ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65375
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках AB и AC соответственно. Обозначим через Oa центр описанной окружности треугольника AABAC. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что описанная окружность треугольника OaObOc касается описанной окружности исходного треугольника.


Решение

  Пусть касательные к описанной окружности треугольника ABC в его вершинах пересекаются в точках A', B', C' (A' – точка пересечения касательных в точках B и C, и т.п.).
  Рассмотрим треугольник, образованный прямыми CA, CB и произвольной прямой l, перпендикулярной AB. Все такие треугольники гомотетичны друг другу с центром в C. Более того, при равномерном движении l центр описанной окружности этого треугольника движется прямолинейно и равномерно.
  Рассмотрим два положения l, когда она проходит через B и A. В первом положении центром описанной окружности полученного треугольника CC'AB является точка A', так как  CA' = BA'  и  ∠CA'B = 180° – 2∠A = 2∠CC'AB  (см. рис.). Аналогично во втором положении центром будет точка B'. Тогда центр Oc окружности CCACB – это середина отрезка A'B'. (Случаи расположения точек, отличные от показанного на рисунке, разбираются аналогично.)
  По тем же соображениям Oa и Ob – середины отрезков B'C' и A'C' соответственно. Следовательно, описанная окружность треугольника OaObOc – это окружность девяти точек треугольника A'B'C', а описанная окружность треугольника ABC – либо вписанная (если треугольник ABC остроугольный), либо вневписанная окружность этого треугольника. В любом случае эти две окружности касаются по теореме Фейербаха (см. задачу 58348).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .