ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65380
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AHc, CHa пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.


Решение

Так как прямые AHa и CHc перпендикулярны BM, четырёхугольник AHaCHa – трапеция, а K – точка пересечения продолжений ее боковых сторон. Кроме того, так как треугольники AMB и CMB равнобедренные, то  HaA = HaB  и  HcC = HcB.  Следовательно,  KC : KHa = CHc : AHa = BHc : BHa,  то есть  KB || CHcBM  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
задача
Класс 10
задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .