Задача 65389

Тема:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Н.

N точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные – синим. Все красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и все синие отрезки – тоже. Найдите все N, при которых это могло получиться.

Решение

Из каждой точки выходит  N – 1  звено. Если во всех случаях они одного цвета, то  N = 3,  если двух, то  N = 5.  Треугольник нельзя разбить на две ломаные – звеньев не хватает. Конструкция для пяти точек приведена на рисунке.

Ответ

N = 5.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4