ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65390
Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).


Решение

  Отметим на плоскости точки  A(0, 0),  A1(0, 10),  B(9, 6),  B1(4, 9),  C(5, 5),  D(15, 5)  и  B2(9, 4)  (рис. слева). Нетрудно убедиться, что точки B1 и B2 симметричны относительно AC, а точки B2 и B, а также A и A1 – относительно CD. Поэтому фигура, составленная из треугольников AB1C, ACD, CBD и BA1D, представляет собой развёртку вырожденного тетраэдра ACDB2 (он вырожден потому, что  ∠A1DB + ∠BDC = ∠CDA).

  Чтобы устранить эту “неприятность”, чуть сдвинем точку C "влево-вниз" вдоль серединного перпендикуляра к отрезку BB1 (рис. справа). Для полученной точки C1 сохраняется равенство  B1C1 = BC1,  но теперь для углов  α = ∠A1DB,  β = ∠BDC1  и  γ = ∠C1DA  выполнены неравенства треугольника:  α + β > γ  по построению, а неравенства  α + γ > β  и  γ + β > α  сохраняются ввиду малости сдвига. Поэтому фигура, составленная из треугольников A1DB, BDC1 и C1DA, представляет собой развёртку трёхгранного угла с вершиной D, то есть тетраэдра без одной грани. Недостающая грань равна треугольнику AB1C1, поэтому фигура AB1C1BA1DB на рис. справа – развёртка тетраэдра. Как видим, она самопересекается.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .