ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65407
Темы:    [ Соображения непрерывности ]
[ Разложение на множители ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a1, a2, a3, a4, ... есть числа  
Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.


Решение

a3a2 = a2a1 = d  – разность прогрессии.     и     – целые числа, значит,  a3a1 = 2d  целое, а d целое или полуцелое. Поскольку  2a1 + d = a1 + a2  – целое число, возможны три случая: a1 и d (а значит, и все члены прогрессии) целые; d целое, a1 полуцелое; d полуцелое, a1 – дробь со знаменателем 4. Но в последних двух случаях ясно, что знаменатель каждого члена тот же, что у a1. С другой стороны, знаменатель    больше знаменателя a1. Противоречие.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .