|
|
 |
Условие
Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол A – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины A вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.
Решение
Если шар вылетает вдоль борта, то он сваливается в ближайшую лузу.
В противном случае угол α между первым отрезком пути шара и стороной AB – не "целый" (меньше 1°). Покажем по индукции, что каждый из отрезков пути (а точнее – продолжающая его прямая) составляет с AB угол вида 2n° ± α, где n – целое (это верно и при замене угла на смежный). Действительно, отрезки пути перед и после отражения от прямой XY лежат на симметричных относительно XY прямых, поэтому угол между отрезком и прямой AB равен углу между отражённым отрезком и прямой A'B', симметричной AB относительно XY. Поскольку по условию угол φ между AB и XY составляет целое число градусов, а прямая AB при симметрии повернётся на 2φ, то и угол между отрезком и прямой AB изменится на чётное число градусов (знак перед α меняется при переходе к смежному углу).
Из доказанного следует, что шар всегда будет образовывать нецелые (в градусах) углы со сторонами, в частности, не пойдёт вдоль бортов и не отразится под прямым углом.
Предположим, что шар вернулся в A. Но внутри угла с вершиной A только один выходяший из A отрезок составляет нужный угол с AB – стартовое звено (углы вида 2n° – α > 1°, так как α < 1°). Поэтому вернуться в вершину шар может только по той же прямой, по которой вылетел. Далее см. решение задачи 105177.
Замечания
6 баллов
