Задача 65420

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Мерзон Г.А.

Разрежьте правильный тетраэдр на равные многогранники с шестью гранями.

Решение

  Приведём примеры, в которых правильный тетраэдр разрезается на два, на три и на четыре равных шестигранника.
  Разрезание на 2 части. Возьмём центр правильного тетраэдра и соединим его с каждой из вершин. Получится разрезание тетраэдра на четыре равные правильные пирамиды, у каждой из которых по четыре грани. Если объединить эти части по две, получатся два равных шестигранника.
  Разрезание на 3 части. Разрежем правильный треугольник на три равных пятиугольника (см. рис.). Пятиугольники равны, так как совмещаются поворотом на 120°. Если взять такую картинку в основании тетраэдра и соединить оставшуюся вершину тетраэдра с каждой из вершин пятиугольников, то получится разрезание тетраэдра на три равных шестигранника (каждый из которых является невыпуклой пирамидой).

  Разрезание на 4 части. Во всех предыдущих решениях части шестигранники были невыпуклыми, но можно разрезать тетраэдр и на равные выпуклые шестигранники. Соединим сначала на каждой из граней центр с серединой каждого ребра грани. Грани окажутся разбиты на равные четырёхугольники. Теперь соединим центр тетраэдра со всеми центрами граней – и получится разбиение тетраэдра на четыре равных шестигранника с четырёхугольными гранями. (Центр тетраэдра, центры двух граней и середина их общего ребра лежат в одной плоскости – а именно, в плоскости, проходящей через середину ребра и содержащей противоположное ребро.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2015
задача
Номер	9