|
|
 |
Условие
Решите систему уравнений:
1/x = y + z,
1/y = z + x,
1/z = x + y.
Решение
Первый способ. Вычитая из первого уравнения второе, получим:
1/x – 1/y = y – x ⇔ (y – x)(1/xy – 1) = 0 ⇔ x = y или xy = 1. Рассмотрим два случая.
1) x = y. Исключив из первого и третьего уравнений переменную y, получим 1/x = x + z, 1/z = 2x ⇔ z = 1/2x, 1/2x = x ⇔ x = z = .
2) xy = 1. Тогда из первого уравнения следует, что z = 0, и выражение 1/z не имеет смысла. Таким образом, этот случай невозможен.
Второй способ. Заметим, что 1/x + x = 1/y + y = 1/z + z = x + y + z. Пусть x + y + z = A, тогда x, y и z – корни уравнения 1/t + t = A, которое равносильно квадратному уравнению t² – At + 1 = 0. Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то значения каких-то двух переменных должны быть одинаковыми. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассмотренным в пункте 1) первого способа.
Ответ
;
.
