ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65423
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника АВС выбраны точки D, E и F соответственно так, что  DE || АC,  DF || BС.
Найдите угол между прямыми и BF.


Решение

  Пусть и BF пересекаются в точке N. Так как CEDF – параллелограмм, а треугольник BDE – равносторонний, то  ВЕ = СF  (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

       

  Первый способ. Треугольники ВАЕ и СВF равны (по двум сторонам и углу между ними). Угол ANF – внешний для треугольника ABN, значит,
ANF = ∠ВАЕ + ∠ABF = ∠CВF + ∠ABF = 60°.

  Второй способ. Рассмотрим поворот вокруг центра O треугольника АВС на угол 120° против часовой стрелки (рис. справа). При таком повороте вершина А перейдёт в вершину В, сторона ВС – в сторону СА, а так как  ВЕ = СF,  то точка Е перейдёт в точку F. Следовательно, луч AE перейдёт в луч BF. Угол между этими лучами равен углу поворота, то есть  ∠ENF = 120°.  Значит,  ∠ANF = 60°.


Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 9
неизвестно
Номер 9.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .