ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65449
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Куб ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В каждой вершине куба сидело по мухе. Потом все мухи разом взлетели и сели по одной в каждую вершину в каком-то другом порядке.
Докажите, что найдутся три мухи, которые в начальном и конечном положении сидели в вершинах равных треугольников.


Решение

Поскольку куб можно произвольно перевернуть, то можно считать, что муха, сидевшая в вершине A, осталась на месте. Если муха из противоположной вершины C' также осталась на месте, то вместе с любой третьей мухой они образуют нужную тройку. Если же муха из C' переместилась в вершину X, то в C' на её место прилетела третья муха, сидевшая до того в вершине Y. Эти три мухи образуют искомую тройку ввиду равенства треугольников AXC' и AYC' (один из примеров таких треугольников приведён на рисунке).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 7 (2009 год)
Дата 2009-03-1
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .