Задача 65458

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Пусть p – простое число. Сколько существует таких натуральных n, что pn делится на  p + n?

Решение

Пусть  pn = (p + n)k,  тогда  p² = p² + pn – (p + n)k = (p + n)(p – k).  Так как  p – k < p,  то оно на p не делится. Поэтому  p + n = p²,  то есть  n = p² – p.  Очевидно, оно подходит.

Ответ

Одно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1