ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65463
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Периметр треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.


Решение

  Пусть a и b – половины сторон (см. рис.). Тогда c – средняя линия и равна половине третьей стороны. Напомним, что медианы делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1.  Запишем по три неравенства треугольников и сложим их.

  а)  3x < a + c,  3y < b + c,  c < x + y.  Отсюда  2(x + y) < a + b + c.  Осталось умножить на 3/2.
  б)  a < 2x + yb < x + 2y,  c < x + y.  Отсюда  a + b + c < 4(x + y).  Осталось умножить на ¾.

Замечания

Баллы: 3 + 5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .