ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65468
Темы:    [ Геометрическая прогрессия ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.
Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.


Решение

Пусть a – первый член прогрессии, а несократимая дробь m/n – её знаменатель (из условия ясно, что он рационален). Тогда последний член равен am36n–36, то есть a делится на n36:  a = bn36.  По условию числа bn36 и bm36 взаимно просты, значит,  b = 1.  Следовательно, 19-й член равен m18n18.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .