Задача 65475

Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В параллелограмме АВСD точка Е – середина стороны AD, точка F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на прямую СЕ.
Найдите площадь треугольника ABF, если  АВ = а,  ∠ВАF = α.

Решение

Продлим СЕ до пересечения с прямой АВ в точке K (см. рис.). Из равенства треугольников AKE и DCE следует, что  AK = CD = AB.  Значит, FA – медиана прямоугольного треугольника KFB, проведённая к гипотенузе, поэтому  FA = а.  Значит,  S_ABF = ½ AB·AF sin∠ВАF = ½ a² sin α.

Ответ

½ a² sin α.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1.2