ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65485
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У натурального числа n есть такие два различных делителя а и b, что  (а – 1)(b + 2) = n – 2.
Докажите, что число 2n является квадратом натурального числа.


Решение

  (а – 1)(b + 2) = n – 2  ⇔  abb + 2a = n.  Так как n делится на a и делится на b, то и левая часть полученного равенства делится и на a, и на b. Следовательно, b делится на a, a 2а делится на b. Второе условие означает, что  b ≤ 2a.  Учитывая, что  b ≠ a,  имеем  b = 2a.
  Подставив этот результат в исходное равенство, получим  2а² – 2а + 2а = n,  откуда  2n = 4a².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .