ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65486
Тема:    [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений:   .


Решение

  Первый способ. xy = 9 + t² ≥ 9  и  x² + y² = 18 – z² ≤ 18.  Следовательно,  18 ≥ x² + y² ≥ 2xy ≥ 18.  Значит, все знаки неравенства должны обратиться в знаки равенства, то есть  x² + y² = 2xy = 18,  поэтому  x = y = ±3.
  Из первого уравнения системы и условия  xy = 9  следует, что  t = 0,  а из второго уравнения и условия  x² + y² = 18  следует, что  z = 0.

  Второй способ. (x – y)² = x² + y² – 2xy = (18 – z²) – (9 + t²) = – z² – 2t².
  Так как левая часть принимает только неотрицательные значения, а правая – только неположительные, то равенство возможно тогда и только тогда, когда  х = y  и  t = z = 0.  Подставив этот результат в любое из уравнений системы, получим, что  x = y = ±3.  Затем подстановкой полученных значений в другое уравнение убеждаемся, что они являются и его решением.


Ответ

(3, 3, 0, 0),  (–3, –3, 0, 0).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .