ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65506
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

ABCD – выпуклый четырёхугольник. Известно, что  ∠CAD = ∠DBA = 40°,  ∠CAB = 60°,  ∠CBD = 20°.  Найдите угол CDB.


Решение

  Так как  ∠CAB = 60°,  ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 60°,  то треугольник ABC – равносторонний (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. В треугольнике ABD  ∠ABD = 40°,  ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 100°,  значит,  ∠BDA = 180° – (40° + 100°) = 40°. Следовательно, этот треугольник – равнобедренный (рис. слева). Таким образом,  AB = BC = CA = AD,  поэтому треугольник CAD – также равнобедренный. Значит,
ADC = ∠ACD = ½ (180° – ∠CAD) = 70°,  ∠CDB = ∠CDA – ∠BDA = 70° – 40° = 30°.

         

  Второй способ. Проведём окружность с центром A и радиусом  AB = AC.  Пусть она пересечёт луч AD в некоторой точке E (рис. справа). По теореме о вписанном угле  ∠CBE = ½ ∠CAE = 20°,  то есть лучи BE и BD совпадают. Следовательно, совпадают точки E и D. Так как окружность проходит через точку D, то  ∠CDB = ½ CAB = 30°.


Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .