ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65517
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?


Решение

  Предположим, что найдутся четыре подряд идущих числа, удовлетворяющих условию. Заметим, что среди четырёх подряд идущих чисел одно делится на 4. Тогда в разложении этого числа на простые множители есть не менее двух двоек. Если есть еще простой делитель p, отличный от двойки, то делителей у числа не менее шести: 1, 2, 4, p, 2p, 4p. Если в разложении есть только двойки, то для того, чтобы делителей было ровно четыре  (1, 2, 4, 8),  двоек должно быть ровно три. Итак, существует единственное делящееся на 4 число, у которого ровно четыре делителя – число 8. Его соседи (7 и 9) условию не удовлетворяют, поэтому искомых чисел не более трёх.
  Пример трёх подряд идущих чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя: 33, 34, 35.


Ответ

Три числа.

Замечания

Есть и другие примеры.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .