Задача 65518

Темы:    [ Перпендикулярные прямые ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что  KX = KN.  Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

Решение

  Пусть F – точка пересечения прямых KO и XL (см. рис.). Докажем, что ∠KFX = 90°.

  Первый способ. Обозначим  ∠KNL = α.  Тогда центральный угол  ∠MOK = 2α,  а  ∠XKO = –MKO = 90° – α.  Треугольники XKL и NKL равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,  ∠KXL = ∠KNL = α   (*).
  Тогда в треугольнике XKF  ∠KFX = 180° – (90° – α) – α = 90°.

  Второй способ. Проведём высоту KH треугольника MKN.  ∠MKO = ∠NKH  (см. задачу 52358). При симметрии относительно прямой KL точка N переходит в точку X, прямая LN переходит в прямую LX, прямая KH переходит в прямую KO.
  Поскольку  KH ⊥ LN,  то и образы этих прямых при симметрии также перпендикулярны, следовательно,  KO ⊥ XL.

  Третий способ. Пусть KY – касательная к описанной окружности треугольника MKN. Используя угол между касательной и хордой и утверждение (*), получим, что  ∠YKX = ∠KNL = ∠KXL.  Значит, прямая XL параллельна KY, то есть перпендикулярна KO.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3