|
|
 |
Условие
В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?
Решение
Пусть к рассматриваемому моменту турнира x шахматистов сыграло по три партии, а 50 – x – по две. Поскольку в каждой партии участвуют два шахматиста, то суммарное количество сыгранных к этому моменту партий равно ½ (3x + 2(50 – x)). Из уравнения ½ (3x + 2(50 – x)) = 61 находим
x = 22.
Предположим, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой. Тогда все игры, которые они провели, были сыграны с шахматистами, сыгравшими по две партии. Таких игр 3·22 = 66 > 61, что противоречит условию.
Ответ
Не могло.
