Задача 65553

Тема:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

Решение

Из равенства  P(P(P(x))) = Q(Q(Q(x))) = Q(P(P(x)))  следует, что P и Q совпадают на множестве значений многочлена P(P(x)). Это множество бесконечно, так как P(P(x)) имеет положительную степень. Значит,  P – Q ≡ 0  (ненулевой многочлен не может иметь бесконечного числа корней).

Ответ

Обязательно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3