|
|
 |
Условие
Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.
Решение
Достаточно доказать, что отношения радиусов описанной и вписанной сфер для додекаэдра и икосаэдра совпадают. Пусть A – вершина додекаэдра, B, C, D – центры прилежащих к ней граней, O – центр описанной сферы. Тогда OA – радиус описанной, а OB – радиус вписанной сферы додекаэдра.
В силу двойственности додекаэдра и икосаэдра центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра. У этого икосаэдра OB – радиус описанной сферы, а радиус вписанной сферы соединяет O с центром E его грани BCD. Вследствие симметрии отрезок OA перпендикулярен грани BCD и пересекает её в её центре, т.е. BE – высота прямоугольного треугольника OBA, опущенная на гипотенузу OA. В силу известного свойства прямоугольного треугольника OA : OB = OB : OE.
Замечания
7 баллов
