ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65592
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Формула включения-исключения ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших чем 1/2015 и больших чем 1/2016?


Решение

  Пусть  а > 0  – знаменатель искомой дроби, тогда  1/2016 < 2015/a < 1/2015  ⇔  2015² < a < 2015·2016  ⇔  2015² < a < 2015² + 2015.  Следовательно, искомые значения а – это числа вида  2015² + n,  где n – натуральное,  1 ≤ n ≤ 2014  и  НОД(2015; n) = 1.
  Так как 2015 = 5·13·31,  то значения n, не удовлетворяющие условию, это все натуральные числа из указанного промежутка, кратные хотя бы одному из простых множителей в этом разложении. Найдём их количество: кратных 5 будет  13·31 – 1 = 402  (так как вычитается само число 2015), кратных 13 будет  5·31 – 1 = 154,  а кратных 31 будет  5·13 – 1 = 64.  При этом, числа кратные сразу двум простым множителям разложения будут учтены дважды (чисел, учтенных при таком подсчете трижды, в указанном промежутке нет). Итак, чисел, кратных и 5, и 13 (то есть кратных 5·13), будет  31 – 1 = 30,  чисел, кратных и 5, и 31, будет  13 – 1 = 12,  а чисел, кратных и 13, и 31, будет  5 – 1 = 4.
  Таким образом, искомое количество дробей равно  2014 – 402 – 154 – 64 + 30 + 12 + 4 = 1440.


Ответ

1440.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .