|
|
 |
Условие
Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших чем 1/2015 и больших чем 1/2016?
Решение
Пусть а > 0 – знаменатель искомой дроби, тогда 1/2016 < 2015/a < 1/2015 ⇔ 2015² < a < 2015·2016 ⇔ 2015² < a < 2015² + 2015. Следовательно, искомые значения а – это числа вида 2015² + n, где n – натуральное, 1 ≤ n ≤ 2014 и НОД(2015; n) = 1.
Так как 2015 = 5·13·31, то значения n, не удовлетворяющие условию, это все натуральные числа из указанного промежутка, кратные хотя бы одному из простых множителей в этом разложении. Найдём их количество: кратных 5 будет 13·31 – 1 = 402 (так как вычитается само число 2015), кратных 13 будет 5·31 – 1 = 154, а кратных 31 будет 5·13 – 1 = 64. При этом, числа кратные сразу двум простым множителям разложения будут учтены дважды (чисел, учтенных при таком подсчете трижды, в указанном промежутке нет). Итак, чисел, кратных и 5, и 13 (то есть кратных 5·13), будет 31 – 1 = 30, чисел, кратных и 5, и 31, будет 13 – 1 = 12, а чисел, кратных и 13, и 31, будет 5 – 1 = 4.
Таким образом, искомое количество дробей равно 2014 – 402 – 154 – 64 + 30 + 12 + 4 = 1440.
Ответ
1440.
