|
|
 |
Условие
Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы 5×8 по одной цифре таким образом, чтобы каждая цифра встречалась ровно в четырёх рядах. (Рядами мы считаем как столбцы, так и строчки таблицы.) Докажите, что у неё ничего не получится.
Решение
Предположим, что Ане расставить цифры удалось. Заметим, что каждая цифра в таблице может встретиться не более четырёх раз. В самом деле, если среди четырёх рядов, где она встречается, есть два столбца и две строки, то на их пересечениях есть ровно четыре клетки для нашей цифры (написана она может быть в двух, трёх или во всех четырёх клетках), а если три ряда в одном направлении и один в другом, то только три клетки.
Однако цифр всего 10, а клеток 40, поэтому цифр каждого вида ровно по 4, и расположены они именно на пересечениях двух горизонтальных и двух вертикальных рядов.
Это, в частности, означает, что в каждом столбце одинаковые цифры присутствуют парами, что невозможно, так как в столбце нечётное число цифр (5).
