Задача 65614

Темы:    [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Существует ли такая функция  f(x), определённая для всех действительных чисел, что  f(sin x) + f(cos x) = sin x?

Решение

Пусть такая функция существует. Тогда  f(sin 0) + f(cos 0) = sin 0,  то есть  f(0) + f(1) = 0.  Но   f(sin ^π/₂) + f(cos ^π/₂) = sin ^π/₂,  то есть  f(0) + f(1) = 1. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3.1