ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65629
Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вася живет в многоквартирном доме. В каждом подъезде дома одинаковое количество этажей, на каждом этаже по четыре квартиры, каждая квартира имеет одно-, дву- или трёхзначный номер. Вася заметил, что количество квартир с двузначным номером у него в подъезде в десять раз больше количества подъездов в доме. Сколько всего квартир может быть в этом доме?


Решение

  Так как двузначных номеров квартир не больше чем 90, то количество подъездов не больше девяти. Рассмотрим два случая.
  1) Все двузначные номера квартир находятся в Васином подъезде. Тогда Вася живет в первом подъезде, квартир в нем не меньше ста, значит, этажей в доме не меньше 25. Следовательно, в доме 9 подъездов, в каждом из которых может быть по 100, по 104 или по 108 квартир  (112·9 > 1000).  Значит, всего квартир в доме 900, 936 или 972.
  2) Не все двузначные номера квартир находятся в Васином подъезде. Обозначив количество подъездов через n, получим, что у него в подъезде 10n квартир с двузначными номерами, где  1 ≤ n ≤ 8. 
  Если этот подъезд – первый, то в нем есть однозначные номера квартир, поэтому квартир в Васином подъезде  10n + 9,  что не делится на 4. Следовательно, в Васином подъезде не может находиться 80, 70, 60 или 50 квартир с двузначными номерами (такие количества квартир с двузначными номерами могут быть только в первом подъезде).
  Если же в этом подъезде есть трёхзначные номера, то во всех предыдущих подъездах в сумме  99 – 10n  квартир, что также не делится на 4.
  Таким образом, в Васином подъезде есть только двузначные номера квартир. Если их 40, то подъездов четыре, и в каждом по 40 квартир. Тогда в доме
40·4 = 160  квартир.
  Если же их не больше чем 30, то подъездов не более трёх, а квартир не больше чем 90, что противоречит тому, что в доме есть квартиры с трёхзначными номерами.


Ответ

160, 900, 936 или 972.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 14 (2016 год)
Дата 2016-03-20
класс
Класс 6 класс
задача
Номер 6.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .