ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65634
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Мальвина записала по порядку 2016 обыкновенных правильных дробей: ½, ⅓, ⅔, ¼, 2/4, ¾, ... (в том числе, и сократимые). Дроби, значение которых меньше чем ½, она покрасила в красный цвет, а остальные дроби – в синий. На сколько количество красных дробей меньше количества синих?


Решение

  Заметим, что записана только одна дробь со знаменателем 2, ровно две дроби со знаменателем 3, ровно три – со знаменателем 4, и так далее. Так как
2016 = 64·63 : 2,  то число 2016 равно сумме всех натуральных чисел от 1 до 63. Значит, Мальвина записала все дроби со знаменателями 2, 3, ..., 64.
  Рассмотрим дроби с одинаковым знаменателем, записанные в порядке возрастания. Если знаменатель нечётный, то каждая из дробей первой половины меньше чем ½, а каждая из дробей второй половины больше, чем ½. Если знаменатель чётный, то есть дробь, равная ½, а из остальных дробей половина меньше чем ½, а другая половина – больше чем ½.
  Таким образом, количество красных дробей меньше количества синих в точности на количество дробей, равных ½. Это дроби 1/2, 2/4, 3/6, ..., 32/36, их количество равно 32.

Ответ

На 32.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 14 (2016 год)
Дата 2016-03-20
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .