|
|
 |
Условие
Мальвина записала по порядку 2016 обыкновенных правильных дробей: ½, ⅓, ⅔, ¼, 2/4, ¾, ... (в том числе, и сократимые). Дроби, значение которых меньше чем ½, она покрасила в красный цвет, а остальные дроби – в синий. На сколько количество красных дробей меньше количества синих?
Решение
Заметим, что записана только одна дробь со
знаменателем 2, ровно две дроби со знаменателем 3, ровно три – со
знаменателем 4, и так далее. Так как
2016 = 64·63 : 2, то число 2016 равно сумме всех натуральных чисел от 1 до 63. Значит, Мальвина записала все дроби со знаменателями 2, 3, ..., 64.
Рассмотрим дроби с одинаковым знаменателем, записанные в порядке
возрастания. Если знаменатель нечётный, то каждая из дробей первой половины меньше чем ½, а каждая из дробей второй половины больше, чем ½. Если знаменатель чётный, то есть дробь, равная ½, а из остальных дробей половина меньше чем ½, а другая половина – больше чем ½.
Таким образом, количество красных дробей меньше количества синих в
точности на количество дробей, равных ½. Это дроби 1/2, 2/4, 3/6, ..., 32/36, их количество равно 32.
Ответ
На 32.
