ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65638
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Буратино выложил на стол 2016 спичек и предложил Арлекину и Пьеро сыграть в игру, беря по очереди спички со стола: Арлекин может своим ходом брать либо 5 спичек, либо 26, а Пьеро – либо 9, либо 23. Не дождавшись начала игры, Буратино ушел, а когда он вернулся, партия уже закончилась. На столе осталось две спички, а проиграл тот, кто не смог сделать очередной ход. Хорошенько подумав, Буратино понял, кто ходил первым, и кто выиграл. Выясните это и вы!


Решение

  Заметим, что при делении на 7 количество спичек, взятых Арлекином, даёт остаток 5, а количество спичек, взятых Пьеро, даёт остаток 2. Число 2016 кратно 7, поэтому после каждого хода игрока, ходившего вторым, количество оставшихся спичек также будет кратно 7.
  Так как на столе осталось две спички, то последним ходом было взято число спичек, дающее при делении на 7 остаток 5. Значит, последний ход сделал Арлекин и выиграл.
  Все ходы, кроме последнего, разбиваются на пары, в которых общее количество взятых спичек кратно 7, поэтому первый ход также сделал Арлекин.


Ответ

Первым ходил Арлекин, он и выиграл.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 14 (2016 год)
Дата 2016-03-20
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .