Задача 65643

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M и K.
Докажите, что расстояние от точки O до прямой MK равно половине гипотенузы.

Решение

  Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник, точки L и N – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на прямые AB и MK соответственно (см. рис.). Докажем, что треугольники MON и OAL равны, откуда и будет следовать утверждение задачи. Заметим, что гипотенузы у них равны, как радиусы, то есть достаточно доказать равенство углов MON и OAL.

  Пусть  ∠MON = α,  тогда центральный угол MOK равен 2α, а соответствующий ему вписанный угол MAK равен α. Далее, вписанный в окружность угол AKB равен  90° + α  как внешний угол треугольника CAK. Следовательно, центральный угол AOB, опирающийся на меньшую дугу AB, равен
80° – 2α,  то есть  ∠OAL = ∠OAB = α,  что и требовалось.

Замечания

Задача и её решение аналогичны формулировке и решению задачи 56618. В нашем случае хорды AM и BK окружности являются перпендикулярными сторонами четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	8-9
задача
Номер	3