ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65650
Темы:    [ Выпуклые тела ]
[ Призма (прочее) ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мухин Д.

В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?


Решение

  При  n = 4  призма может быть и наклонной. Достаточно рассмотреть, например, четырёхугольную призму, у которой все грани – равные ромбы (такая фигура называется ромбоидом, рис. слева).

             
  Теперь докажем, что в остальных случаях  (n = 3  и  n > 4)  призма обязательно будет прямой.
  Пусть это не так, то есть боковые грани призмы – равные параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками. Тогда вершины основания являются вершинами трёхгранных углов двух типов:
  1) с двумя равными плоскими углами;
  2) с двумя плоскими углами, в сумме дающими 180°.
  В первом случае проекция общего ребра для этих углов принадлежит прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла многоугольника в основании, а во втором – внешнего.

  Заметим, что соседние вершины основания – разных типов. Действительно, поскольку проекции параллельных прямых параллельны, то, в противном случае, мы получим параллельность биссектрис двух соседних внутренних или внешних углов выпуклого многоугольника, что невозможно.

  Рассмотрим любые три последовательные грани: AA1D1D, AA1B1B и BB1C1C. Пусть A' и B' – проекции A1 и B1 соответственно на плоскость основания призмы, причём A' принадлежит прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла DAB многоугольника в основании, а B' – внешнего угла CBK (рис. справа). Тогда прямые AA' и BB' параллельны, то есть  ∠A'AK = ∠B'BK,  откуда  ∠DAB = ∠CBK,  следовательно, прямые AD и BC параллельны.
  Итак, мы доказали, что у многоугольника в основании призмы стороны через одну параллельны. Учитывая его выпуклость, получим, что он является параллелограммом. Противоречие.


Ответ

При всех  n ≠ 4.

Замечания

Условие выпуклости призмы является существенным: при  n > 4  существуют невыпуклые (но не прямые) призмы, удовлетворяющие условию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2016-04-17
класс
Класс 10-11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .