Задача 65652

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Креков Д.

Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно BC, O_A – центр окружности, проходящей через A и середины отрезков A'B и A'C. Точки O_B и O_C определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников ABC и O_AO_BO_C.

Решение 1

  Обозначим середины отрезков BC, BA' и CA' через K, L и M соответственно. Пусть X – центр описанной окружности треугольника KLM. Рассмотрим точку D, симметричную A относительно серединного перпендикуляра к стороне BC. Обозначим образы точек K, L, M и X при гомотетии с центром A и коэффициентом 2 через D', B', C' и O' соответственно. Поскольку основание высоты треугольника A'BC лежит на описанной окружности треугольника KLM, то B'D'A'C' – равнобокая трапеция, а O' – центр её описанной окружности.
  Заметим, что ADBC получается из A'D'B'C' параллельным переносом на вектор   , значит B'DAC' – равнобокая трапеция. Обозначим через x и y расстояния от O' до B'C' и A'D' соответственно, а через a и b – половины длин B'C' и D'A', тогда  x² + a² = y² + b².

  Рассмотрим точку Y, делящую отрезок O'K в отношении  2 : 1.  Заметим, что расстояние от Y до B'C' равно  ⅓ (5x + 4y),  а расстояние от Y до AD равно
⅓ (4x + 5y).    значит,    то есть точка Y – центр описанной окружности равнобокой трапеции B'DAC', а, следовательно, и треугольника AB'C'. Поэтому  AY = 2AO_A  и точка Y также является точкой пересечения медиан треугольника AD'O' (она делит медиану O'K в отношении  2 : 1).  Значит,  AP = ³/₂ AY = 3AO_A,  где P – середина D'O'. Пусть R – точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда  AD' = 2AK = 3AR,  то есть треугольники ARO_A и AD'P подобны с коэффициентом ⅓, значит,
RO_A = ⅓ D'P = ⅙ O'D' = ^r/₆,  где r – радиус описанной окружности треугольника ABC.
  Аналогично  RO_B = RO_C = ^r/₆.  Таким образом, центр описанной окружности треугольника O_AO_BO_C – точка R, а радиус описанной окружности равен одной шестой радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Решение 2

  Пусть в треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, M – точка пересечения медиан, S – середина BC, H – ортоцентр, O₁ – центр окружности девяти точек, K – основание высоты, проведённой из точки A; точки N и P – середины отрезков A'B и A'C соответственно, L – точка пересечения AN и BC, O' – точка, симметричная O относительно BC, O'' – диаметрально противоположна точке A в описанной окружности треугольника ANP, Q – точка пересечения NP и OO'' (рис. слева).

  Воспользуемся тем, что точки O, M, O₁ и H лежат на одной прямой, причём  OM : MO₁ : O₁H = 2 : 1 : 3  (см. задачи 55595 и 64414, рис. справа). В частности, из этого следует, что  MO₁ = ⅙ OH.  Докажем, что  MO_A = ⅙ OA.     (*).
  Точки O₁ и O_A равноудалены от точек N и P (O₁ равноудалена от середин AB и AC), поэтому прямая O₁O_A перпендикулярна стороне BC. Следовательно, проекция отрезка MO_A на прямую BC в шесть раз меньше, чем проекция отрезка OA на ту же прямую.
  Значит, утверждение (*) будет следовать из того, что прямые OA и MO_A образуют равные углы с BC. Иначе говоря (так как  SO₁ || AO  и  SO₁ = O₁K),  требуется доказать, что прямые MO_A и O₁K параллельны.
  Пусть прямая, проходящая через M и параллельная O₁K, пересекает прямую AK в точке X. Тогда  KX = ⅓ HK.  Докажем, что  O₁O_A = KX = ¼ HX,  откуда и будет следовать искомая параллельность.
  Покажем, что точки L, A, C, X лежат на одной окружности. Действительно, из задачи 55463 и теоремы о произведении длин отрезков хорд следует, что  LK·KC = ⅓ BK·KC = ⅓ HK·AK = KX·KA.  Следовательно,  ∠LAK = ∠LCX = ∠KCX.
  Заметим, что:
  1) при гомотетии с центром A и коэффициентом 2 образом O_A является O'', а образом O₁ – O';
  2)  ∠NO'O'' = ∠CHK  (оба они равны ∠ABC) и  ∠O''NQ = ∠O''NP = ∠NAA' = ∠LAK  (в силу параллельности O'O'' и AA' и того, что  ∠ANO'' = 90°);
  3)  O'Q = ½ HK  (поскольку OO' = AH,  а NP – средняя линия).
  Из вышеперечисленных фактов следует, что треугольник O'NO_A подобен треугольнику HCX с коэффициентом 0,5. Следовательно,
O₁A = ½ O'O'' = ¼ HX, что и требовалось.

Ответ

6 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	10-11
задача
Номер	6