Задача 65655

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?

Решение

Пусть p и q – простые числа, причём  p > q.  Тогда  p⁴ – q⁴ = (p² – q²)(p² + q²) = (p – q)(p + q)(p² + q²).  Каждый из полученных множителей – натуральное число, причём  p + q > 1  и  p² + q² > 1.  Следовательно, рассматриваемая разность является произведением хотя бы двух натуральных чисел, больших единицы, то есть является составным числом.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	7
задача
Номер	7.1.3