Задача 65657

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка E, а на биссектрисе BD – точка F таким образом, что  EF || AC  и  AF = AD.  Докажите, что  AВ = ВЕ.

Решение

Так как  AF = AD,  то  ∠АFD = ∠ АDF,  а из параллельности EF и AC следует, что  ∠АDF = ∠ЕFD  (см. рис.). Следовательно,  ∠АFD = ∠ЕFD,  тогда равны и углы, смежные с ними:  ∠АFB = ∠ЕFB.  Учитывая, что  ∠ АВF = ∠ЕВF,  получим, что треугольники АВF и ЕВF равны по стороне и двум углам. Значит,  AВ = ВЕ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	7
задача
Номер	7.2.2